Y tú, ¿cambiarías la caja?

En un mundo en el que la ciencia proporciona ingentes cantidades de información (por ejemplo, el telescopio espacial Gaia nos producirá 1 Petabyte de información), la estadística está empezando a jugar un papel crucial en nuestras investigaciones. Puesto que los planes de estudio de las carreras de ciencias no tienen (erróneamente desde mi punto de vista) una carga lectiva importante en esta materia, nos vemos obligados a aprender por nuestra cuenta las técnicas que nos permitan exponer nuestros resultados con la mayor honradez posible. En este sentido, recientemente me compré un libro muy interesante para profundizar en la estadística aplicada a nuestros problemas. El caso es que encontré un ejemplo que creo que puede servir para ilustraros la importancia de esta ciencia. Es un problema que seguro que alguna vez hemos visto en algún programa de televisión y que siempre te planteas qué harías tú en ese caso.

Imaginemos que estamos en un concurso en el que el presentador nos da a elegir entre 100 cajas, de las cuáles sólo una tiene premio (digamos un viaje a Bora Bora a todo lujo para añadirle emoción). De entre todas las cajas, elegimos una al azar (o siguiendo los instintos personales de cada uno, lo cuál por otro lado sería absurdo porque para que el premio estuviese en esa caja, el que ha colocado el premio tendría que coincidir contigo en esos gustos personales y la probabilidad de que esto ocurra en este caso es del 1%). Una vez hemos elegido esa caja, el presentador la aparta. De las 99 cajas que quedan, el presentador, que sabe en qué caja está el premio, descarta 98 cajas en las que asegura que no hay premio. Y, en ese momento, nos ofrece cambiar la caja que hemos escogido por la caja que él ha dejado.  ¿Qué haría tú? ¿Cambiarías la caja? 

Fotograma de uno d elos capítulos de la serie "Los Simpson" en la que Bart se enfreta a un problema similar al que proponemos en esta entrada. Aunque en este caso es con puertas en lugar de cajas y el proemio no era un viaje a Bora Bora.

Fotograma de uno de los capítulos de la serie “Los Simpson” en la que Bart se enfreta a un problema similar al que proponemos en esta entrada. Aunque en este caso es con puertas en lugar de cajas y el proemio no era un viaje a Bora Bora.

La clave en este problema, al igual que en muchos otros de la vida diaria, es la información de la que disponemos. La información es poder, y en este caso con más razón. Antes de que el presentador descartase las cajas, la probabilidad que teníamos de que nuestra caja fuera la buena era del 1% (una de entre las 100 cajas posibles) ya que nosotros no teníamos ni idea de dónde estaba el premio. Sin embargo, ahora tenemos más información. Puesto que el presentador ha descartado 98 cajas en las que no está el premio, este debe estar en una de las dos cajas que restan (en la nuestra o en la que él nos ofrece ahora). Por lo tanto, lo que nos importa es saber cuánto más probable es que el premio esté en la otra caja respecto de que esté en la nuestra.

Aunque el cálculo de este número se puede seguir bien por el público en general, pondré ahora simplemente el resultado de palabra (quizá en otra entrada lo resolvamos numéricamente). Pues bien, el resultado del cálculo es claro y sorprende, al menos a mí, por su rotundidad. La estadística nos dice que la probabilidad de que el premio esté en la otra caja es 99 veces superior a que esté en la caja que nosotros escogimos. Por tanto, el concursante debería claramente cambiar de caja cuando el presentador le da la opción. Salvo que el concursante haya tenido una suerte tremenda de escoger de entre 100 cajas la que tenía el premio, es prácticamente seguro que el premio estará en la otra caja. Así pues, no nos queda más remedio que cambiar la caja si queremos irnos de viaje a Bora Bora.

Una nota histórica

Este problema, como bien se dice en el libro del que he sacado el ejemplo, fue expuesto por primera vez por Martin Gardner en 1959 en su sección llamada Juegos Matemáticos en la prestigiosa revista Scientific American. Años más tarde, en 1990, Marilyn vos Savant publicó un problema similar y cuya resolución generó mucha polémica. La columnista recibió cientos de cartas de profesionales diciéndole que su respuesta de tener que cambiar la caja era errónea. Sin embargo, años más tarde se demostró experimentalmente que realmente merece la pena cambiar de caja. Además, este problema (también llamado el problema de Monty Hall) fue motivo de un capítulo de los conocidos Cazadores de Mitos (podéis ver el capítulo aquí, en inglés).

jlillo

Referencias y enlaces interesantes

– Libro empleado como base para esta entrada:
Statistics, Data Mining, and Machine Learning in Astronomy. Autores: Željko Ivezić, Andrew J. Connolly, Jacob T. VanderPlas & Alexander Gray. Editado por: Princeton University Press.

Programa de los Cazadores de Mitos resolviendo experimentalmente el problema.

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